Теперь мы рассмотрим способы построения эллипсов. Они являются, пожалуй, одним из самых интересных геометрических фигур.
Трехмерные тела, полученные путем вращения эллипсов, так называемые эллипсоиды, очень распространены в природе. Форму эллипса имеет, например, наша планета Земля.
Кстати, вращается она вокруг Солнца опять-таки на орбите, имеющей форму эллипса. Большинство планет и их орбиты также связаны с эллипсами.
Эллипс можно определить двумя различными толкованиями. В геометрии на плоскости эллипсом называется месторасположение точек, для каждой из которых выполняется условие.
Сумма расстояний от любой точки к двум, заранее заданным точкам, должна являться постоянной величиной.Вспомним наипростейший способ построения эллипса.
Мы имеем в виду не компьютерное построение, а вырисовывание эллипса на доске или на листе бумаги. Допустим, заданы две точки. Вот они обозначены у нас желтыми кружочками,
и мы хотим построить эллипс, для которого эти две точки будут базовыми точками, т.е. должно выполняться условие, чтобы расстояние любой точки, которую мы поставим, до этих двух точек, в сумме сохранялось.
Делается это следующим образом. В этих двух точках закрепляется жесткая нить. Под жесткостью понимается то, что нить не должна растягиваться. Но и естественно, общая длина нити должна быть чуть больше, чем расстояние между этими точками.
Нить натягивают кончиком карандаша и в таком натянутом положении начинают раскручивать всю эту систему так, чтобы нить всегда оставалась натянутой, и кончик карандаша скользил бы по нити.
Вот таким способом, т.к. нить не растягивается, сохраняется условие, что сумма расстояния, а это и есть длина нити, оставалась постоянной. В результате, вот это главное условие кажется выполненным,
и эллипс будет построен. Суть этой геометрической фигуры такова, что она имеет две оси симметрии. Условно их называют малой и большой осью симметрией.
Малой принято называть ось, в направлении которой эллипс имеет меньшую высоту. Интерес к этой геометрической фигуре не ограничивается только тем, что эта форма часто встречается в природе. Вспомним другое определение.
Эллипсом можно называть кривую, полученную в результате сечения конической поверхности плоскостью, которая не параллельна ее основанию. В результате такого пересечения, получается вот такая фигура.
А само место пересечения является эллипсом. Более того, любая окружность, если ее повернуть под каким-то углом, тут же выглядит, как эллипс. В зависимости от угла поворота окружности практически можно получить эллипс с любыми параметрами.
Существует целая наука, так называемая, эллиптическая геометрия. Любому эллипсу можно поставить в соответствии бесконечное множество различных конусов
с соответствующим сечением плоскостью. Если смотреть на усеченный конус, то, очевидно, что в любой точке, которая одновременно принадлежит и эллипсу и конусу, радиус кривизны в плоскости, параллельной основанию конуса и плоскости эллипса, совершенно различны.
Обратите внимание, так как эллипс симметричная фигура, вот в этих местах радиусы кривизны одинаковы в плоскости эллипса. А в плоскостях параллельных основанию конуса, радиусы кривизны очевидно сильно отличаются.
Все вышесказанное, мы вспомнили для того, чтобы вы глубже осознали и почувствовали те принципы, по которым приложение AutoCAD строит объекты.
Да и к тому же, эллипсоидные формы очень часто встречаются и в дизайнерской работе. Давайте еще раз потренируемся в использовании средств автоматизированного построения в среде AutoCAD, и посмотрим, например, почему эллипсоидные зеркала используются в осветительных устройствах,
например, в прожекторах. Построим линейный отрезок, который будет касательным в какой-либо точке к эллипсу. Вот, под курсором появляется иконка, символизирующая захват касательного угла и выстраивается такой линейный отрезок.
Теперь представим себе, что вот в этой ключевой точке, которая называется естественно вместе со вторым фокусом, эллипсом, пусть будет размещаться точечный источник света. Рассмотрим путь луча, который падает из этой точки на эллиптическую поверхность.
Перейдем в другой слой. Пусть будет слой номер 1. И опять выстраиваем линейный отрезок из вот этой точки до точки пересечения.Уточним объектную привязку пересечения.
Теперь построим вспомогательную линию, которая будет вертикальной касательной линией вот в этой точке. Для этого активируем объектную привязку Perpendicular, указываем на эту линию,
и в качестве точки пересечения, укажем вот эту точку. Теперь выполним зеркальное отображение вот этого линейного отрезка вокруг этого перпендикуляра.
Делается это из меню Modify, с выполнением команды Mirrow. Детально действие этой команды мы разберем попозже.Теперь надо указать две точки, расположенные на данной линии.
Указываем одну, вторую. На запрос командной строки - Удалить ли исходный отрезок, отвечаем, Нет. Теперь построим еще одну конструкционную линию,
которая будет совпадать по направлению с этим линейным отрезком. Обратите внимание, вот эти два угла равны между собой, т.к. мы выполнили зеркальное отображение этого направления.
А это есть угол падения и отражения. Так как мы выбрали произвольную точку, то, очевидно, что все отраженные лучи, падающие из источника света, расположенного в правом фокусе, соберутся вот в этой точке, которая называется тоже фокусной точкой. Условно будем ее называть левым фокусом.
Так как вот эти расстояния могут быть выбраны совершенно произвольно, вполне возможно построение такой эллиптической поверхности, которая сможет сфокусировать лучи света на достаточно больших расстояниях.
Уберем эти вспомогательные линии. Они нам больше не нужн